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DRF : Sujet de thèse SL-DRF-21-0925

DOMAINE DE RECHERCHE
Physique théorique / Physique théorique
INTITULÉ DU SUJET Français English

Géométrie des systèmes intégrables, récursion topologique, courbes quantiques et développement asymptotique

RÉSUMÉ DU SUJET

Il s'agit d'un sujet très interdisciplinaire en physique mathématique, à l'interface entre les mathématiques et la physique.

Mots clés : systèmes intégrables, géométrie algébrique et énumérative, combinatoire, récursion topologique, théorie de la résurgence, matrices aléatoires, théorie des cordes, physique statistique, cartes.

Un système intégrable était initialement défini comme un système dynamique avec suffisamment de quantités conservées pour le rendre "soluble". Ceci a été reformulé comme un ensemble d'hamiltoniens Poisson-commutants entre eux, et comme l'existence d'une "fonction Tau" dont la différentielle est générée par les hamiltoniens commutants. En physique, la fonction de Tau est la fonction de partition. La fonction de Tau est caractérisée par certaines relations satisfaites par sa différentielle, et en particulier une équation non linéaire appelée "équation de Hirota".

On a observé depuis longtemps que les fonctions génératrices de plusieurs problèmes en combinatoire ou en géométrie énumérative sont des fonctions de Tau de certains systèmes intégrables, par exemple l'intégrale de Kontsevich (fonction génératrice des nombres d'intersection de Kontsevich-Witten en géométrie énumérative des espaces des modules des surfaces de Riemann) est la fonction de Tau de Korteweg-DeVries (KdV). Plus généralement, la théorie des cordes peut être reformulée comme un problème de géométrie énumérative : "de combien de façons une surface de Riemann de genre donné peut-elle être intégrée de façon holomorphique dans un espace cible donné", c'est-à-dire mesurer le volume d'un espace modulaire de paires de (surface de Riemann, intégration holomorphique). Ces volumes sont extrêmement difficiles à calculer, et faire le lien avec un système intégrable donne des équations différentielles et d'autres équations qui peuvent fournir un moyen de les calculer.

Un autre lien avec la géométrie est que de nombreux exemples de fonctions de Tau sont la fonction de Thêta d'une courbe algébrique et, dans un certain sens, on peut associer une fonction de Tau à chaque courbe algébrique plane. En fait, presque toutes les fonctions de Tau, dans une certaine limite (avec un petit paramètre epsilon-> 0), se comportent asymptotiquement comme une fonction de Thêta, et on peut étudier son expansion asymptotique en puissances de epsilon (limite semi-classique, similaire à WKB), et trouver que les coefficients des puissances de epsilon, ont une interprétation géométrique dans la géométrie de la courbe du plan algébrique. Réciproquement, étant donné une courbe plane algébrique, on peut construire, à partir de sa géométrie, une fonction Tau "formelle" comme une série en puissance de epsilon. Cependant, une difficulté est que la série asymptotique est généralement une série divergente, elle ne définit pas une fonction de epsilon. En d'autres termes, nous devons comprendre la procédure de resommation. Ceci est lié à la "théorie de la résurgence".

L'étudiant se familiarisera avec tous ces concepts. Il/elle étudiera plusieurs exemples de problèmes de géométrie énumérative provenant soit de la physique (théorie des cordes, physique statistique) soit des mathématiques (géométrie algébrique, combinatoire, matrices aléatoires). Il/elle étudiera les équations de récursion qui relient les coefficients des séries asymptotiques (récursion topologique), et travaillera sur la question de la resommation et de la résurgence.

INFORMATIONS PRATIQUES
Institut de Physique Théorique
Service de Physique Théorique
Centre : Saclay
Date souhaitée pour le début de la thèse : 01/10/2021
PERSONNE À CONTACTER PAR LE CANDIDAT

Bertrand EYNARD  

CEA
DRF/IPhT//SPhT
Institut de Physique Théorique - CEA Saclay

Téléphone : +33 1 69 08 73 76

UNIVERSITÉ / ÉCOLE DOCTORALE
Paris-Saclay
Physique en Île-de-France (EDPIF)
EN SAVOIR PLUS
DIRECTEUR DE THÈSE

Bertrand EYNARD

CEA
DRF/IPhT//SPhT
Institut de Physique Théorique - CEA Saclay